导语
集智学园联合东京都市大学贾伊阳老师共同开设。本期课程将在函数空间、Hilbert 空间与对偶空间等基础上，把第一期介绍的泛函分析直观概念，发展为可计算、能证明、有助于阅读和写作人工智能领域论文的研究工具。
作为第二期第四讲，本讲围绕“小噪声为何造成大误差”展开，从Hadamard适定性出发，借助算子下界、闭值域与奇异值衰减解释逆问题的不稳定机制；以Tikhonov正则化与谱滤波控制噪声放大，权衡偏差与稳定性；进而讨论非线性逆问题的条件稳定性与误差界，并结合图像重建分析深度学习中的幻觉、不可辨识性及网络架构作为正则化的作用。
分享将于 11月 3 日（周二）19:30—21:30 进行。
课程简介
本讲围绕“小噪声为何会造成大误差”展开，讨论逆问题的病态性、正则化方法及学习型重建的可靠性。首先介绍 Hadamard 适定性，通过算子下界、闭值域与奇异值衰减，解释逆映射不稳定的数学机制；随后以 Tikhonov 正则化和谱滤波为核心，说明如何控制噪声放大，以及如何平衡重建偏差与稳定性。在此基础上，进一步介绍非线性逆问题中的条件稳定性、强单调性与误差界，并结合图像重建和相关论文，分析深度学习方法中的幻觉、不可辨识性，以及网络架构作为正则化参数的作用。
课程大纲
逆问题与稳定性的基本概念
含噪观测模型与逆问题的基本形式。
Hadamard 适定性：存在性、唯一性与稳定性。
前向算子的连续性与逆映射的稳定性。
稳定逆的等价条件：算子下界、单射与闭值域。
典型例子：有限维病态矩阵、无限维对角算子与紧算子。
病态性的谱解释
紧算子的奇异系统及其与 A*A 的关系。
小奇异值导致噪声放大的机制。
用谱刻画稳定性下界。
图像模糊与逆滤波的 Fourier 解释及数值演示。
选讲：Picard 判别条件。
正则化：稳定的近似求逆
正则化算子族与收敛性要求。
Tikhonov 正则化、正规方程及强单调结构。
数据扰动的定量稳定性估计。
直接求逆、截断奇异值与 Tikhonov 谱滤波的比较。
正则化偏差与噪声误差的分解。
参数选择：收敛条件与 Morozov 偏差原则。
非线性稳定性与单调算子
局部 Lipschitz 稳定性与 Hölder 稳定性。
先验模型类上的条件稳定性与可辨识性。
切向锥条件与非线性问题的局部线性化。
强单调性带来的逆稳定性与预解算子的压缩性。
区分问题稳定性、正则化稳定性、算法稳定性与学习稳定性。
选讲：度量次正则性与残差误差界。
学习型重建的稳定性与可靠性
学习型重建的评价维度：准确性、数据一致性、扰动稳定性与正则化一致性。
核空间与近似不可辨识方向：重建幻觉的数学来源。
稳定性压力测试：随机噪声、最坏方向扰动与采样模式变化。
论文案例：深度重建的不稳定现象与准确性—稳定性权衡。
具有结构约束的学习方法：单调神经算子与弱凸学习型正则化。
网络架构作为正则化参数：模型复杂度控制与偏差原则。
主讲老师
贾伊阳，东京都市大学讲师，曾任日本女子大学、成蹊大学助理教授，研究方向涵盖计算复杂性、算法及范畴相关理论。集智学园《范畴论与机器学习》《面向应用的泛函分析》课程讲师。她的讲课风格细致入微、逻辑清晰，声音甜美，是集智社区中备受学员喜爱的人气讲师。
贾伊阳老师近期与耶鲁大学数字伦理中心创始主任、信息哲学家Luciano Floridi展开合作，共同运用范畴论等数学工具，系统探讨人工智能的边界与安全性问题。
双方围绕大语言模型的语义基础、AI系统的形式化建模以及智能体的因果推理等方向，合作发表了多篇学术论文，从数学哲学层面为理解AI的能力边界、幻觉来源与可靠性提供了新的分析框架。
贾老师也将在后续课程中介绍这一系列合作成果，欢迎关注。
面向对象
这门课适合两类人。
一类是从事机器学习、人工智能相关工作的人。你们每天在用的那些模型：正则化、对抗训练、ISTA、Neural ODE、DEQ、Diffusion、FNO、强化学习，背后都站着同一套数学。这门课讲清楚这套数学，学完再看论文里的“紧性”“对偶”“半群”“谱”，就不再是陌生的名词，而是可以拆开、可以计算、可以用到自己的工作里去的工具。
另一类是学数学的人。如果觉得泛函分析是一门由孤立定理构成的基础课，这门课想让你看到它的另一面：这些定理怎样直接解释现代智能系统为什么能收敛、为什么会发散、会在哪里出问题。
建议具备一定的函数、向量与矩阵基础，最好已经接触过第一期的基本框架；如果对机器学习中的常见模型有大致了解，会学得更顺畅。
报名须知
1. 课程形式：线上腾讯会议直播 + 回放2. 课程周期：2026年9月8日起，每周二 19:30-21:30进行，每两周一次课，固定在周二晚 7:30（即隔周二）3. 课程定价：499元
课程链接：https://campus.swarma.org/course/5726?from=wechat
付费流程：
课程页面添加学员登记表，添加助教微信入群；
课程可开发票。
课程共创任务：课程字幕
为鼓励学员深度参与、积极探索，我们致力于形成系列化知识传播成果，并构建课程知识共建社群。为此，我们特别设立激励机制，让您的学习之旅满载收获与成就感。
课程以老师讲授为主，每期结束后，助教会于课程群内发布字幕共创任务。学员通过参与这些任务，不仅能加深对内容的理解，还可获得积分奖励。积分可兑换其他读书会课程或实物奖品，助力您的持续成长。
泛函分析课特别定制集智涌现文化衫
附赠两副复杂科学知识卡
学员如何获得：
宣传贡献
转发活动文案或海报至朋友圈，附上个人推荐语，早鸟价报名集赞满100个、原价报名集赞30个。
同一课题组5人组团集体报名。
内容贡献
参与字幕校对或内容整理工作，可使用9900积分兑换相应权益。
历届学员反馈
：贾老师的第一期课程中，为我们介绍了泛函的基本定义，什么是函数空间，介绍了常用的希尔伯特空间，如何用核方法去测量函数（对偶空间）来找到我们需要的原函数，在做泛函的过程中，还讲了很多技术细节，就是怎么测量函数，需要满足哪些要求等等。
通过初步学习和了解，我们理解了物理、机器学习的内部工作原理，理解了诸如无限宽度的神经网络约等于一个核方法，知道了如何从数学思维理解机器学习。
希望在第二期的学习中，更够更加了解到解决前沿高维数学问题的泛函分析思想和方法。
：贾老师讲得很好，从头到尾把一门课讲得这么体系化，非常难得。课程内容扎实，逻辑清晰，听下来收获很大。
如果后续课程深入，我特别期待能听到以下几块内容：变分法与最优化、线性算子理论、三大定理（Hahn-Banach、一致有界性、开映射与闭图像）、谱定理。这些方向非常实用，对我们的研究和应用都会有直接的帮助。
关联课程丨面向应用的泛函分析：空间、算子与结构
第二期默认你熟悉第一期的基本框架——函数空间、范数与完备性、Hilbert 空间的几何、对偶空间。如果你是从机器学习或人工智能直接进入泛函分析，还没有系统地建立这套底子，建议先补上第一期《面向应用的泛函分析：空间、算子与结构》。
第一期回答三个更基本的问题：怎样把形态各异的函数放进同一个框架里谈论；怎样定义“接近”与“收敛”，让逼近和迭代算法有明确的终点；怎样保证求解过程对扰动和噪声始终稳定。它沿着“空间—度量—完备—算子—几何—对偶”这条主线，把最抽象的名词讲成一张可以在科研里导航的地图。第一期已有录播，可在集智学园网站回看。
第二期的每一讲，都站在这些结论上再往前走一步：第一期建立直觉，第二期把这些直觉变成可以写出证明、可以直接用于论文的工具。两期连起来，是从“理解泛函分析”到“用泛函分析做事”的完整路径。
